Решение рациональных неравенств конспект урока

Учитель математики, СОШ № 23, г. Астрахань

Новакова С.А.

ТЕМА УРОКА: РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

9 класс

Цель урока: закрепить и углубить знания учащихся в процессе решения различных упражнений по заданной теме; содействовать развитию взаимовыручки и взаимопомощи, умению вести культурную дискуссию.

Задачи урока :

1. закрепить умение решать рациональные неравенства методом интервалов; рассмотреть различного уровня сложности рациональные неравенства; проверить умение учащихся решать рациональные неравенства;
2. создать условия для развития умений и навыков применять знания в новых ситуациях; для развития качеств мышления: гибкости, целенаправленности, рациональности, критичности с учетом индивидуальных особенностей.

Тип урока : обобщающий урок; закрепления и совершенствования знаний и умений.

Формы организации деятельности на уроке:

1. фронтальная
2. индивидуальная
3. коллективная

Структура урока:

1. организационный момент;
2. мотивационная беседа;
3. актуализация знаний;
4. индивидуальная или коллективная работа с заданиями;
5. подведение итогов.

Методы:

1. словесные;
2. наглядные;
3. практические.

Оборудование:

1. компьютеры;
2. мультимедийный проектор;
3. персональные карточки.

Прогнозируемый результат: закрепление умений и навыков решения рациональных неравенств; формирование умения планировать свою работу; достижение каждым учащимся того уровня умений и навыков, который ему необходим:

I уровень - решать простейшие рациональные неравенства; решать неравенства по заданному алгоритму;

II уровень - решать рациональные неравенства, самостоятельно выбирая метод решения;

III уровень - применять полученные знания в нестандартной ситуации.

ХОД УРОКА.

1. Организация. Постановка задач.
2. Актуализация опорных знаний. Устные упражнения. (Слайд 2-4)

1) Равносильны ли следующие неравенства?

а) и (нет)

б) и (да)

2) Определите метод решения уравнения:

3) Определите ход решения неравенства:

б) ﴾2х 2 +11х+6)﴾2х 2 +11х+13)

1. Повторить алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов: (Слайд 5)

1. В каждом множителе коэффициент при старшей степени переменной должен быть положительный, для этого надо вынести минус из всех множителей, в которых коэффициент при старшей степени отрицательный, и если перед выражением все же остался знак минус, то надо все неравенство умножить на (-1).

Получим корни числителя и точки разрыва знаменателя .

1. На числовой прямой отложим все полученные значения и проведем кривую знаков.

1. Решение заданий. (Слайд 6, 7)

1. Решите неравенство .

Ответ:

2. Решите неравенство .
Ответ:

3. Найдите разность между целыми наибольшим и наименьшим решениями неравенства

Ответ: 4.

4. Решите неравенство .
Ответ:

5. Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства

Ответ: -42.

6. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

7. Сколько простых чисел являются решениями неравенства ?

Ответ: 1.

1. Персональные карточки для проверочных работ.

Карточка № 1.

1. Решить неравенство:

≤ .

а) [-4; -2) ∪ (0;5],

б) (–1, 0] ∪ ,

г) нет решений.

2. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > 1.

а) х ∈ (- ∞ ; -3,5),

Б) –3,

в) –4,

г) нет решений.

Карточка № 2.

1. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > -.

а)5,

б) –3,

в) 4,

г)нет решений.

2. Решить неравенство:

а) (-9; -5) ∪ (0; 8),

Б) (–8, -7) ∪ (1;3),

В) (- ∞ ; -7) ∪ (1; 3),

Г) нет решений.

Карточка № 3.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3) ∪ (0; 3,

Б) (–3, 0) ∪ (0; ∞ ),

В) (5; 7),

Г) нет решений.

2. Найти целочисленные решения неравенств:

а) 0, 1, 2,

Б) 4, 5,

В) 7,

Г)нет решений.

Карточка № 4.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3/25) ∪ (0; ∞ ),

б) (–12, 0) ∪ (7;9),

В) (- ∞ ;) ∪ (; 5),

Г) нет решений.

2. Найти сумму целых решений неравенства

а) 2,

б) 4,

в) 0,

г) 1,

д) 3.

1. Подведение итогов.

В ходе урока учащиеся закрепили умение решать рациональные неравенства, рассмотрели решение рациональных неравенств различного уровня сложности. Учащиеся на практике показали умение применять метод интервалов при решении рациональных неравенств. Особое внимание следует уделить решению нестрогих рациональных неравенств.

1. Домашнее задание. (Слайд 8)

1. Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства

2. Решите неравенство .
3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства

.

1. Список используемой литературы :

1. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. учрежденпий./ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255 с.
2. Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ Беленкова Е.Ю., Лебединцева Е.А. – М.: Интеллект – центр, 2003. – 176 с.
3. «Малое ЕГЭ» по математике: 9 класс: Подготовка учащихся к итоговой аттестации / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. – М.: Эксмо, 2008. – 192 с.

Данный урок проводится в девятом классе и является первым уроком, на котором предлагается решение неравенств, отличных от линейных. По объему рассчитан на один лицейский урок (80 минут). Дается перед уроком, где показывают способы раскрытия модуля. В учебниках для 8 класса (Алимов) и 9 класса (Макарычев) этот материал излагается недостаточно полно, а анализ ошибок говорит о слабом представлении учащимися использования этого метода в дальнейшем.

Практика показывает, что опытные педагоги стараются расширить понятие метода интервалов в 10-11 классах, но на это уходит дополнительное время. Изложенный подход позволяет сформировать у учащихся 9 класса умение решать сложные неравенства и на этой базе использовать возможности метода без дополнительных пояснений. В 10-11 классах останется показать метод интервалов для решения неравенств, содержащих показательную, логарифмическую функцию и т.д.

План-конспект урока

“Решение рациональных неравенств”.

Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский.

Тип урока: формированиеи закрепление знаний.

Форма: лекция-беседа.

1. Образовательные: дать определение рациональных неравенств и научить решать неравенства методом интервалов; отработать понятия “особых” случаев и учет их при решении неравенств.
2. Развивающие: готовить учащихся к лекционным формам занятий, приучая их воспринимать информацию крупными блоками; развивать логическое мышление, самостоятельность, самоконтроль; формирование умственных операций (анализ, синтез, выделение главного); видение связи с последующим материалом.

Воспитательные задачи: развитие рационального общения; развитие личностных качеств (забота, поддержка, самостоятельность, помощь ближнему, сопереживание).

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний учащихся.

Устный счет проводиться с целью подготовки учащихся к цель восприятию нового материала.

Рассматриваются примеры, которые позволяют сделать выводы относительно выражений, которые не влияет на знак неравенства, но существенно влияют на решение неравенства.

Учащиеся делают вывод:

выражение, стоящее в четной степени, не влияет на знак неравенства, но влияет на решение и отбрасывать его без дополнительных ограничений нельзя.

2) Рассмотрим решение неравенства.

Делается акцент на то что, выражение (х +3 ) также не влияет на знакнеравенства, но не учитывать его нельзя, иначе решение будет неверным.

Данные два случая (выражения в четной степени; выражения, на которое произведено сокращение) отнесем к категории особых случаев и это будет учтено при описании алгоритма.

3) Учащимся даётся два выражения:

и ав Рассмотрим знак выражений в следующих случаях:

а) б) в) г)

Вывод: который делают учащиеся: знак частного совпадает со знаком произведения.

Это позволяет в дальнейшем не переходить от частного к произведению. Обычно при этом переходе и происходит потеря знаменателя вообще.

4) Переходим к работе с графиком функций.

А)
	Y = f (x) Когда происходит смена знака функции?

Вывод: при переходе функции через нуль. Это же подтверждает рисунок Б)

Вывод: данная функция относится категории особых случаев, так как четная степень функции не влияет на знак неравенства, перемены знака нет.

Вывод: Это говорит о том, что те точки , которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

III. Формирование новых знаний

После проделанной устной работы записываются алгоритм метода интервала, который позволяет даже учащимся с недостаточной математической подготовкой решать достаточно сложные неравенства. Параллельно записи алгоритма разбирается пример, причем при объяснении не обязательно идти от простого к сложному, а наоборот, от сложного безболезненно можно переходить к решению простейших неравенств, сделав замечание, что мы разобрали алгоритм, работающий во всех случаях, иногда (в зависимости от примера). Некоторые пункты не будут работать.

Существует много различных методов решения рациональных неравенств, но наиболее часто встречающийся, наиболее удобный, метод, который упрощает решение неравенств- это метод интервалов.

Предварительно сделаем несколько замечаний, которые будем использовать на практике, введем определение рациональных неравенств.

Определение: Рациональным называют неравенства, содержащие только целые рациональные и дробно-рациональные функции.

Рациональные неравенства можно решать методом интервалов, основываясь на простом наблюдении: знак произведения (частного) зависит только от знаков каждого из множителей (делимого и делителей).

Идея заключается в следующем: числовая прямая разбивается нулем функции на конечное число интервалов, в каждой из которых функции сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, нужно вычислить значение функции в какой-либо одной точке из каждого такого интервала.

Можно упростить, если оговорить понятие особых случаев, которые влияют на знак интервала.

К ним мы отнесем:

1. Линейный множитель стоит в четной степени.
2. Выражение, которое можно сократить.

Кроме того, нужно все сомножители привести к виду (х-µ), т. к. когда функция имеет вид F(х)=(х-µ)(х-µ)….(х-µ) можно прочередовать знаки интервалов, не определяя знак каждого интервала, т.к. это порой неудобно (дробные значения, находящиеся близко друг от друга).

Рассмотрим алгоритм на примере, предусматривающем замечания, которые мы оговорили.

Давая общий алгоритм нужно заметить, что не все пункты в некоторых примерах работают, поэтому он может значительно сократиться.

1. Расположить выражение в числителе и в знаменателе на линейные множители.

> 0

2. Рассмотреть особые случаи (множители с четным показателем и те множители, на которые будет произведено сокращение).

3. Перепишем неравенство, исключив те множители, которые попали в ряд особых случаев:

4. Приравниваем к нулю каждый множитель числителя и знаменателя и найдём все х из данных равенств.

5. На координатной прямой отметим те значения х , которые получили в пункте 4, учитывая знак (< ; >).

6. Проверим знак функции в одном из интервалов. В остальных интервалах знаки будут строго чередоватьс

я

7. Учитывая особые случаи, записать ответ

После изучения алгоритма рассматриваем примеры:

x 2 – 4 х + 6 > 0 при х

Домашнее задание:

Примеры по учебнику

а. (x - 2) 3 (x+1)(x - 1) 2 (x 2 + 2x + 5) < 0

б.

Задания для самостоятельного решения:

При подготовке урока использовались материалы с курсов переподготовки ИПКРО.

На этом уроке мы вспомним весь пройденный по теме материал и будем решать примеры с различным типом неравенств. Вначале повторим метод интервалов и операции пересечения и объединения множеств. Далее будем решать примеры с использованием стандартных методик решения.

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Обзорный урок по теме: «Рациональные неравенства и их системы»

Мы дозированно увеличивали сложность систем неравенств: сначала решали линейные системы, потом добавляли квадратные неравенства, рациональные неравенства , сами составляли системы, и, таким образом, у нас выработалась методика решения систем неравенств.

Она включает в себя важные элементы:

1. Метод интервалов как метод решения отдельных неравенств.

2. Операция пересечения и объединения числовых множеств.

Рассмотрим эти элементы. Вспомним метод интервалов на примере:

Рассмотрим функцию

Найдем корни квадратного трехчлена

Найдем корни по теореме Виета

Выделим интервалы знакопостоянства.

При переходе через т.-1 функция не меняет знак, т.к. скобка в четной степени.

Мы допустили ошибку, не указали изолированное решение.

Ответ:

Изобразим эскиз графика функции.

Метод интервалов - важнейший элемент решения рациональных неравенств и систем.

Смысл операций пересечения и объединения множеств, в том числе числовых, помогает уяснить следующая картинка:

Пересечение множеств.

Имеем множество А неких элементов и множество В. Какая-то часть этих элементов одновременно попадает и во множество А, и во множество В, и она называется пересечением А и В (Рис. 3).

Например:

2.

Их пересечение дает следующее множество:

Объединение множеств.

Есть элементы которые входят только во множество А, есть элементы которые входят только в множество В. Есть те, которые входят и туда и туда - эти элементы образуют пересечение множеств.

А все элементы из А и недостающие элементы из В образуют объединение множеств (Рис. 5).

Например:

(Рис. 6).

Решением неравенства является объединение двух множеств:

Еще один пример.

Найти пересечение и объединение множеств.

Пересечение множеств:

Объединение множеств:

Решением является любое число,

5.

Решить систему простейших неравенств.

Ответ:

Мы повторили метод интервалов, операции объединения и пересечения множеств. Теперь рассмотрим обратную задачу, которая позволит глубже понять смысл решения неравенств.

Дано решение неравенства, нужно придумать хотя бы одно неравенство, для которого оно справедливо.

6. Найти неравенство, решением которого является данное объединение множеств.

Это может быть решение квадратного неравенства. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола, проходящая через точки 2 и 4.

Рассмотрим задачи с модулем.

Рассмотри первое неравенство. Что такое ? Это расстояние от точки с координатами x до точки3. А означает, что расстояние между этими точками не больше 2. Изобразим графически:

Решим второе неравенство.

Рассмотрим функцию

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Вернемся к системе.

Ответ:

Сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение. Ответ: Наименьшего решения данной системы не существует.

Найти наибольшее решение. Ответ:

Мы провели обзор решения систем рациональных неравенств. Мы рассмотрели основные элементы, которые обеспечивают успех прохождения методики решения неравенств. Что нужно, чтобы решить неравенство? Метод интервалов. Что нужно, чтобы получить решение типовых систем? Нужно представлять себе операции пересечения и объединения.

Неравенства потребуются нам и в дальнейшем.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал Естественных Наук ().

2. Портал Естественных Наук ().

3. Портал Естественных Наук ().

4. Портал Естественных Наук ().

5. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

7. Центр образования «Технология обучения» ().

8. Центр образования «Технология обучения» ().

9. Центр образования «Технология обучения» ().

10. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 82 - 84; Домашняя контрольная работа № 1.

Открытый урок в 9-а классе.

Тема: «Решение рациональных неравенств методом интервалов».

Цель: научить решать неравенства методом интервалов; отработать понятия “особых” случаев и учитывать их при решении неравенств.

Задачи:

повторить алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов;

ввести понятие особых случаев, которые влияют на знак интервала;

рассмотреть случаи, когда линейный множитель стоит в четной степени;

рассмотреть случаи с выражением, которое можно сократить;

научиться алгоритм решения неравенств с учетом «особых» случаев;

готовить учащихся к лекционным формам занятий, приучая их воспринимать информацию крупными блоками; развивать логическое мышление, самостоятельность, самоконтроль; формирование умственных операций (анализ, синтез, выделение главного).

Тип урока: урок закрепление знаний.

Форма: лекция-беседа.

Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие, проверка готовности к уроку.

II. Актуализация знаний учащихся.

Устный счет проводиться с целью повторения изученного материала и подготовки учащихся к восприятию нового материала.

Проверка пройденного материала :

Слайд 2. В чем заключается метод интервалов?

Слайд 3. Назовите числа, при которых числитель и знаменатель будут равны нулю

Слайд 4, 5. Назовите выколотые и закрашенные точки.

Слайд 6. Решить неравенство: (х 2 -16)(х-3) < 0

Слайд 7. Решить неравенство: ≥ 0

:

Слайд 8. Решить неравенство: < 0

Дети должны увидеть, что не произошло смены знака

II I . Изучение нового материала.

Учитель : Итак, оказывается не всегда происходит смена знака при решении неравенств методом интервалов. Попробуем разобраться в данной проблеме.

Слайд 9. Рассмотрим график функции.

Вопрос: «Когда происходит смена знака функции?»

Ответ : при переходе функции через нуль.

Слайд 10. Обращаем внимание: х=0 не является нулем функции, но при переходе через нуль знак функции меняется.

Вывод: Это говорит о том, что те точки , которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

Слайд 11. Хотя точка x = 0 является нулем функции, но функция при переходе через нуль знак не меняет .

Вывод: Данная функция относится к категории особых случаев и, так как четная степень функции не влияет на знак неравенства, перемены знака нет.

Слайд 12. Рассматриваются примеры, которые позволяют сделать выводы относительно выражений, которые не влияют на знак неравенства, но существенно влияют на решение неравенства:

(х-2) 2 > 0 (х-2) 2 ≥ 0 (х-2) 2 < 0

Ответы: х0хR нет решения

В ходе обсуждения нужно подвести учащихся к выводу:

выражение, стоящее в четной степени, не влияет на знак неравенства, но влияет на решение и отбрасывать его без дополнительных ограничений нельзя.

Слайд 13. Возвратимся к нашему «проблемному» неравенству: < 0

Мы понимаем, что здесь есть множитель в четной степени и знаки не чередуются… (Выслушать предположения детей)

Вопрос: удобно ли проверять знаки в каждом из образованных промежутков?

Что если у нас появится неравенство (х-)(х-) < 0 ?

Давайте попробуем увидеть закономерность и сделаем выводы.

Слайд 14. Решить неравенство: (х+5) 6 (х+2) 3 х(х-1) 2 (х-3) 5 ≥ 0

При решении этого неравенства необходимо ввести алгоритм и сформировать представления о применении алгоритма:

Попросить найти нули функции;

Дать определение корней многочлена и их кратности;

Нанести их на числовую прямую;

Попросить определить знаки в каждом промежутке;

Попросить заштриховать сначала те промежутки, где « >0» а затем, где «=0»

Выписать ответ;

Рассмотреть и обсудить, как произошла смена знаков.

Слайд 15. Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:

- для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом

- при четном k 0 имеет один и тот же знак

(знак многочлена не меняется).

- при нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется).

Слайд 16. Используя, полученные выводы решите неравенство:

(х-3) 4 (х+2) 5 (х-7) 2 (х-10) < 0

Слайд 17. Решить неравенства: ≤ 0 и ≤ 0

Слайд 18. Найдите ошибки:

Использование проблемного момента :

Слайд 19. Решить неравенство: < 0

Предлагаю это задание обсудить «в парах» и заслушать варианты ответов.

Делаем вывод, что выражение (х+2) также не влияет на знак неравенства, но не учитывать его нельзя, иначе решение будет неверным.

Очевидно, что х -2 (на ноль делить нельзя). Можно ли сократить?

Напомнить о том, что те точки, которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

Подвести учащихся к выводу, что выражение, которое можно сократить – это тоже особый случай.

Слайд 20. Вывод: Нельзя домножать на знаменатель, содержащий неизвестное и сокращать на одинаковые множители.

Слайд 21. Решить неравенства: > 0 и ≥ 0

Вопрос: Как изменится ответ?

Слайд 22. Общий вывод по определению знаков на промежутках.

IV. Отработка навыков и умений

Слайд 23-24. Примеры для самостоятельного решения (с последующей проверкой на слайдах)

Слайд 25. Примеры для самостоятельного решения в классе (с последующей проверкой у доски) или, в случае нехватки времени, в качестве домашнего задания.

V. Подведение итогов урока .