Треугольник - двумерная фигура с тремя ребрами и таким же количеством вершин. Это одна из основных форм в геометрии. Объект имеет три угла, их суммарная градусная мера всегда равна 180°. Вершины принято обозначать латинскими буквами, например, ABC.
Теория
Треугольники можно классифицировать по разным признакам.
Если градусная мера всех его углов меньше 90 градусов, то его называют остроугольным, если один из них равен этому значению - прямоугольным, ну и в иных случаях - тупоугольным.
Когда треугольник имеет все стороны одинаковой величины, то именуют его равносторонним. На рисунке это отмечают перпендикулярной отрезку меткой. Углы в в таком случае всегда равны 60°.
Если же только две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным. В таком случае углы, находящиеся у основания, равны.
Треугольник, не подходящий под два предыдущих варианта, называют разносторонним.
Когда говорят, что два треугольника равны, это означает, что они имеют одинаковые размер и форму. Также они имеют одинаковые углы.
Если же совпадают исключительно градусные меры, то фигуры называют подобными. Тогда соотношение соответствующих сторон можно выразить определенным числом, которое называется коэффициентом пропорциональности.
Периметр треугольника через площадь или стороны
Как и в любом многоугольнике, периметр - это сумма длин всех сторон.
Для треугольника формула выглядит так: P = а + b + c, где a, b и c - длины сторон.
Существует еще один способ решения данной задачи. Он заключается в том, чтобы найти периметр треугольника через площадь. Для начала нужно знать уравнение, связывающее эти две величины.
S = p × r, где p - полупериметр, а r - радиус вписанной в объект окружности.
Весьма просто можно преобразовать уравнение в необходимый для нас вид. Получим:
Не забываем, что настощий периметр будет в 2 раз больше полученного.
Вот так просто решаются подобные примеры.
Любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:
P = a + b + c
где P - это периметр треугольника, a , b и c - его стороны.
Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:
P = 2a + b
где P - это периметр равнобедренного треугольника, a - любая из боковых сторон, b - основание.
Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:
P = 3a
где P - это периметр равностороннего треугольника, a - любая из его сторон.
Площадь
Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом . Рассмотрим треугольник ABC :
Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:
В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.
Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:
Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:
Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.
Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2 . Общая формула для нахождения площади треугольников будет выглядеть так:
| S = | ah a |
| 2 |
где S - это площадь треугольника, a - его основание, h a - высота, опущенная на основание a .
Интересно, что много лет назад такой раздел математики, как «геометрия» называли «землемерием». И о том, как найти периметр и площадь, известно уже давно. К примеру, говорят, что самыми первыми вычислителями этих двух величин являются жители Египта. Благодаря таким знаниям они могли строить известные сегодня сооружения.
Умение находить площадь и периметр может пригодиться в повседневной жизни. В быту данные величины используются, когда необходимо что-либо покрасить, засадить или обработать сад, поклеить в комнате обои и т. п.
Периметр
Чаще всего необходимо узнать периметр многоугольников или треугольников. Чтобы определить эту величину, достаточно лишь знать длины всех сторон, а периметр составляет их сумму. Найти периметр, если известна площадь, также возможно.
Треугольник
Если необходимо знать периметр треугольника, для его вычисления стоит применить такую формулу P = а + b + с, где а, b, с - стороны треугольника. В этом случае все стороны обычного треугольника на плоскости суммируются.
Круг
Периметр круга обычно принято называть длиной окружности. Чтобы узнать данную величину, необходимо использовать формулу: L = π*D = 2*π*r, где L- длина окружности, r - радиус, D - диаметр, а число π, как известно, примерно равно 3,14.
Квадрат, ромб
Формулы для периметров квадрата и ромба одинаковы, потому что и у одной фигуры, и у другой все стороны равны. Поскольку квадрат и ромб имеют равные стороны, то их (стороны) можно обозначить одной буквой «а». Получается, периметр квадрата и ромба равен:
- Р = а + а + а + а или Р = 4а
Прямоугольник, параллелограмм
У прямоугольника и параллелограмма противолежащие стороны одинаковы, поэтому их можно обозначить двумя разными буквами «а» и «b». Формула выглядит так:
- Р = а + b + а + b = 2а + 2b. Двойку можно вывести за скобки, и получится такая формула: Р = 2 (а+b)
Трапеция
У трапеции все стороны разные, поэтому их обозначают разными буквами латинского алфавита. В связи с этим формула для периметра трапеции выглядит так:
- Р = а + b + с + d Здесь все стороны суммируются вместе.
Площадь
Площадь - та часть фигуры, которая заключена внутри ее контура.
Прямоугольник
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, необходимо умножить значение одной стороны (длины) на значение другой (ширины). Если значения длины и ширины обозначаются буквами «а» и «b», то площадь вычисляется по формуле:
- S = а*b
Квадрат
Как уже известно, стороны квадрата равны, поэтому для вычисления площади можно просто взять одну сторону в квадрат:
- S = а*а = a 2
Ромб
Формула нахождения площади ромба имеет немного другой вид: S = a*h a , где h a - это длина высоты ромба, которая проведена к стороне.
Кроме того, площадь ромба можно узнать по формулам:
- S = a 2 *sin α, при этом а является стороной фигуры, а угол α - угол между сторонами;
- S = 4r 2 /sin α, где r - радиус вписанной в ромб окружности, а угол α - угол между сторонами.
Круг
Площадь круга также узнается легко. Для этого можно использовать формулу:
- S = πR 2 , где R - радиус.
Трапеция
Чтобы вычислить площадь трапеции, можно воспользоваться данной формулой:
- S = 1/2*a*b*h, где a, b - основания трапеции, h - высота.
Треугольник
Для нахождения площади треугольника воспользуйтесь одной из нескольких формул:
- S = 1/2*a*b sin α (где а, b - стороны треугольника, а α - угол между ними);
- S = 1/2 a*h (где а - основание треугольника, h - опущенная к нему высота);
- S = abc/4R (где a, b, c - стороны треугольника, а R - радиус описанной окружности);
- S = p*r (где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности);
- S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника).
Параллелограмм
Для вычисления площади данной фигуры необходимо подставить значения в одну из формул:
- S = a*b*sin α (где а, b - основания параллелограмма, α - угол между сторонами);
- S = a*h a (где a - сторона параллелограмма, h a - это высота параллелограмма, которая опущена к стороне а);
- S = 1/2 *d*D* sin α (где d и D - диагонали параллелограмма, α - угол между ними).
Треугольник - это элементарная геометрическая фигура, содержащая минимально возможное количество составляющих - три.
Точки соприкосновения сторон являются вершинами его углов, обозначаются заглавными латинскими символами A; B и C. Отрезки между вершинами являются сторонами или гранями треугольника и обозначаются названиями этих вершин: AB; BC; CA или прописной буквой противолежащего угла (вершины): AB=c; BC=a; CA=b.
Периметр равен длине всех сторон фигуры, у треугольника он равен сумме трех сторон:
Высота треугольника - это перпендикуляр от прямой, на которой лежит основание, до одноименной вершины, обозначается h.
Площадь составляет величину поверхности, заключенной внутри фигуры, обозначается S. Произведение основания на высоту дает значение площади. Ее можно определить и по формуле Герона:
- S=√(p·(p-a)·(p-b)·(p-c));
- p=½P.
Из этого видео вы узнаете, как найти площадь треугольника.
Треугольник состоит из сторон и углов, сумма его углов всегда равна 180 градусов: A+B+C=180°.
- Равноугольный : все вершины равны 60°, будет и равносторонним.
- Равнобедренный : при равенстве двух граней углы на основании равны.
- Разноугольный : все вершины разные, ребра у него тоже разные.
- Прямоугольный : один угол равен 90°, примыкающие грани называются катеты, противолежащая - гипотенуза. Бывает равнобедренным (катеты равны) или разноугольным (катеты разные).
- Тупоугольный : один угол больше 90°. Может быть равнобедренным или разноугольным.
Описание
Чтобы описать любой треугольник, достаточно указать:
- Одну сторону и прилегающие к ней углы.
- Две стороны и угол между ними.
- Три стороны.
Данных из любого пункта достаточно для построения заданной фигуры и вычисления всех ее параметров, используя теорему косинусов:
c*c=a*a+b*b-2*a*b*cosC.
Подставляя известные значения , получим уравнение, решив которое узнаем неизвестные величины.
Cos90°=0, поэтому для прямоугольного треугольника c*c=a*a+b*b, где a и b - катеты, c - гипотенуза, сторона, лежащая напротив прямого угла.
Примеры
Известно, что одна грань равна 9 см и прилегающие углы по 60 градусов. Тогда из того, что сумма углов всегда равна 180°, получаем: 180=60+60+x; x=180-120=60. Все три вершины по 60°, значит, все стороны равны. Периметр составляет P=9+9+9=27 см, полупериметр p=13,5 см. Чтобы найти высоту, нужно опустить перпендикуляр из вершины на основание, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см, катетом 4,5 см и катетом неизвестной длины, равным искомой высоте: 9*9-4,5*4,5=60,75=h 2 .
Высота равна корню квадратному из 60,75 или 7,79422863406 см. Умножаем основание на высоту, делим пополам и получаем площадь: 7,79422863406*9/2=35,074028853 см 2 . Если находить площадь по формуле Герона через полупериметр и ребра, ответ будет одинаковый:
S=√(13,5·(13,5-9)·(13,5-9)·(13,5-9))=35,074028853 см 2 .
Следующий пример с разносторонним треугольником. Дано: AB=12 см, BC=10 см, CA=8 см. Требуется найти периметр и площадь фигуры. P=a+b+c=BC+CA+AB=10 см+8 см+12 см=30 см. Площадь находим по формуле Герона, подставляя в нее уже известные значения, учитывая, что p=0,5Р; p=15 см. S=√(p·(p-a)·(p-b)·(p-c))=√(15·(15-10)·(15-8)·(15-12))=√15·5·7·3=√1575=39,686269666 см 2 .
Рассмотрим пример, когда известны два катета прямоугольного треугольника. Допустим, они имеют значения два и четыре метра. Тогда гипотенуза будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов √2 2 +4 2 =4,472135955 м. Периметр 2+4+4,472135955=10,472135955. Площадь равна половине произведения катетов S=2·4=8м 2 .
Когда известны две стороны и угол между ними, остается найти только третью сторону по теореме косинусов. Пусть известные стороны составляют значения 16 и 28 метров, а угол между ними будет в 60 градусов, тогда третья сторона будет равна корню квадратному из этого выражения 16 2 +28 2 - 2·16·28·0,5, что составит значение в 24,3310501212 м. Периметр равен 16+28+24,3310501212=68,3310501212≈68,33 м. Полупериметр будет 34,165 м. Подставляя полученные значения в формулу Герона, найдем площадь S=√(34,165·(34,165-16)·(34,165-28)·(34,165-24,33))=193,982314238 м 2 .
Если известно три параметра любого треугольника - два угла и сторона или две стороны и угол между ними, то ничего особенно сложного в нахождении неизвестных параметров треугольника - периметра, площади или высоты - нет. Нужно только внимательно производить простые вычисления . Иногда можно проявить и смекалку, разбив фигуру на несколько более простых в вычислении, например, прямоугольных треугольников. В каждом конкретном случае все зависит от исходных данных. Все формулы и вычисления, приведенные выше, верны для плоских фигур; для расположенных на сферической поверхности ход вычислений будет иным.
Видео
Это видео поможет вам закрепить полученные знания.
В геометрии, а также в реальной жизни, каждый человек хотя бы несколько раз сталкивается с такой геометрической фигурой как треугольник. Это фигура с тремя углами, тремя противолежащими сторонами, которая является простейшим многоугольником. При желании можно распределить любой многоугольник на треугольники. Таким образом, при необходимости вычитать периметр или площадь многоугольника можно применить формулы расчета треугольника.
Основные характеристики треугольника это: периметр треугольника и площадь треугольника . Дополнительные характеристики это радиус вписанной и радиус описанной окружности. При расчете периметра и площади надо помнить, что расчет делается в зависимости от вида треугольников: остроугольники, тупо угольники, прямоугольники, равнобедренные, равносторонние .
Расчет периметра треугольника определяется достаточно просто с помощью простой формулы, которая суммирует размеры всех сторон. Таким образом, если обозначить стороны треугольника буквами а, b, c, в то время когда периметр треугольника обозначен буквой p, то соответственно формуле расчета периметра получаем: p= a+ b+ c .
В случае расчета площади треугольника все намного сложнее. Таким образом, если вы не уверены в своих силах, то вы можете использовать специальную программу, которая позволит рассчитать треугольник (http://2mb.ru/matematika/kalkulyatory/on-line-raschet-treugolnika/) за считанные секунды. Но, а если все, же вам интересно, откуда взялся этот результат, то стоит углубляться в деталях.
Расчет площади треугольника делается в зависимости от того, какие данные о треугольнике известны, и в зависимости от типа треугольник. Существует множество формул, которые позволяют сделать расчет. Одна из формул позволяет сделать расчет площади тогда, когда известен периметр треугольника, и она носит название – формула Герона.
Формула Герона заключается в использовании значения полу периметра для расчета площади треугольника. Полу периметр это? часть периметра. Формула Герона: S=?p(p-a)(p-b)(p-c) , где буквой S обозначена площадь.
Расчет площади треугольника, когда известна одна сторона (а) и высота треугольника (h ), опущенная на эту сторону: S=(a*h)/2.
Расчет площади равностороннего треугольника : длину надо возвести на вторую степень, умножить на корень квадратный из трех и разделить на 4.
Расчет площади прямоугольного треугольника : длина катетов умножается между собой и разделяется на 2. Катеты это те стороны треугольника, которые образуют прямой угол.
Если материал был полезен, вы можете или поделиться данным материалом в социальных сетях: